Opis predmeta
Mere: σ-algebre, pozitivne mere, zunanje mere, Caratheodoryjev izrek, razširitev mere iz algebre na sigma algebro, Borelove mere na R, Lebesguova mera na R.
Merljive funkcije: aproksimacija s stopničastimi funkcijami, načini konvergence funkcijskih zaporedij, izrek Jegorova.
Integracija: integral nenegativne funkcije, izrek o monotoni konvergenci, Fatoujeva lema, integral kompleksne funkcije, izrek o dominirani konvergenci, primerjava Riemannovega in Lebesguovega integrala, izrek Jegorova.
Produktne mere: konstrukcija produktnih mer, monotoni razredi, Tonellijev in Fubinijev izrek, Lebesguov integral na R^n.
Kompleksne mere: predznačene mere, Hahnov in Jordanov razcep, kompleksne mere, variacija mere, absolutna zveznost in vzajemna singularnost, Lebesgue-Radon-Nikodymov izrek.
L^p-prostori: neenakosti Jensena, Hölderja in Minkowskega, omejeni linearni funkcionali, dualni prostori.
Integriranje na lokalno kompaktnih prostorih: pozitivni linearni funkcionali na C_c(X), Radonove mere, Rieszov izrek, Lusinov izrek, gostost prostora C_c(X) v L^p-prostorih.
Odvajanje mer na R^n: odvajanje mer, absolutno zvezne in funkcije z omejeno totalno variacijo.
Predmet učimo na programih
Cilji in kompetence
Študent pridobi znanje osnov teorije mere, ki jih potrebuje za razumevanje osnov sodobnega verjetnostnega računa, statistike in funkcionalne analize.
Metode poučevanja in učenja
predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije
Predvideni študijski rezultati
Znanje in razumevanje: Razumevanje osnovnih pojmov teorije mere.
Uporaba: Teorija mere sodi med temeljne predmete, saj je nujno potrebna za razumevanje teoretičnih osnov verjetnostnega računa in statistike.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Sposobnost abstraktnega razmišljanja. Spretnost uporabe domače in tuje literature.
Temeljni viri in literatura
- C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw: Principles of Real Analysis, 3rd edition, Academic Press, San Diego, 1998.
- R. Drnovšek: Rešene naloge iz teorije mere, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2001.
- G. B. Folland: Real Analysis : Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, John Wiley & Sons, New York, 1999.
- M. Hladnik: Naloge in primeri iz funkcionalne analize in teorije mere, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1985.
- S. Kantorovitz: Introduction to Modern Analysis, Oxford Univ. Press, 2003.
- B. Magajna: Osnove teorije mere, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2011.
- W. Rudin: Real and Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1987.
Bodi na tekočem
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška cesta 25, 1000 Ljubljana